Não foram os aliens – um debate sobre o conhecimento de sociedades antigas

 De acordo com o conhecimento atual, há seis regiões consideradas “berços da civilização”: Mesopotâmia (atual Iraque), Egito, China, Mesoamérica (povo maia), Vale do Indo (atual Paquistão e norte da Índia) e Peru (povos andinos) [1]. Isso porque, de maneira mais ou menos independente e em diferentes épocas, povos dessas regiões inventaram a agricultura e a escrita. Alguns “estudiosos” afirmam que o “avançado conhecimento” dessas sociedades (em matemática, astronomia, engenharia, etc) só se explica com a “ajuda dos aliens”. Será que elas não eram “inteligentes o bastante” para desenvolver seu próprio conhecimento?

Este texto não é uma crítica ao estudo da História e da elaboração de interpretações diversas. Minha crítica é à forma como isso é feito e com os pressupostos implícitos nessas teorias que são preconceituosos em relação aos povos não-europeus.

A discussão deste texto é sobre formas de conhecimento que pressupõem a invenção da escrita, mas há formas de conhecimento das sociedades áglifas (sem escrita) e que estão ausentes na nossa. Os maiores problemas existentes na sociedade capitalista – acumulação descontrolada de capital, exploração do trabalho, descontrole do poder político, desigualdade social, destruição dos recursos naturais, individualismo e desrespeito à coletividade, etc – são causados pela ausência de conhecimentos que são comuns em sociedades áglifas.

O racismo velado

Note que os povos dessas regiões eram não-europeus. A partir de uma visão de mundo eurocêntrica de mundo, pressupõe-se que todas as grandes descobertas só poderiam ter acontecido na Europa. Parece espantoso, talvez assustador, considerar que, na Antiguidade, as civilizações europeias se desenvolveram de forma tardia.

Na verdade, a Antiga Suméria (sul da Mesopotâmia) e o Egito se desenvolveram de maneira relativamente rápida. Formou-se uma rota comercial da Suméria ao Egito na chamada Crescente Fértil, o que favoreceu a disseminação dos saberes, levando ao surgimento de civilizações ao longo dessa rota, que se desenvolveram de maneira desigual e combinada. Os povos europeus não precisaram ‘reinventar’ essas tecnologias porque tinham com quem aprender.

Sociedades que nos parecem estranhas

Nós, que fomos criadas numa cultura europeia, temos bastante contato com as antigas Roma e Grécia. Nas aulas de História. Na nossa língua, que é latina e com muitas palavras de origem grega. Na arte, no direito, na “democracia”.

Por outro lado, raramente temos contato com os povos considerados berços da civilização. Seus valores, histórias, religiões e culturas nos parecem estranhas, esquisitas, bizarras – como se viessem de outro mundo.

Isso é um prato cheio para os pseudo-historiadores. Há muitas histórias que eles podem ‘traduzir’ e ‘interpretar’ de maneira forçada para ‘provar’ suas teses. Se os alienólogos defendessem que os anjos na Bíblia eram alienígenas e Iavé era o seu líder, não teriam tanta audiência. Tem mais apelo dizer que os Annunaki eram alienígenas e que Anu era seu líder – porque quase ninguém conhece as histórias da Suméria.

Agricultura, cidade, escrita, matemática

Para que a agricultura seja inventada, as únicas condições absolutamente necessárias são os recursos naturais (água, terra fértil, sementes) e a racionalidade humana. Ambas as condições já existiam, há dezenas de milhares de anos, em todo o globo – daí a razão de sua invenção por diversos povos, em locais e épocas distintas. [2] Esta permitiu que povos antes nômades formassem assentamentos que, em alguns casos, cresceram e se tornaram cidades. [3] A contabilidade necessária para lidar com a logística da produção e das relações comerciais favoreceu o surgimento da escrita por volta de 3.000 AEC. [4]

Esses povos passaram milhares de anos fazendo contas, logicamente ficaram muito bons nisso. Não à toa, a Matemática Babilônica é bastante conhecida por sua forte aritmética e pelas várias tabelas que utilizavam para fazer contas e resolver variados tipos de problema. Por exemplo, na Babilônia, já se conhecia:

• O método da diagonal (ou “Teorema de Pitágoras”) 1.000 anos antes de Pitágoras; [5]

• O método da raiz (ou “Método de Heron”) 1.500 anos antes de Heron; [6]

• A raiz de 2, com 3 dígitos sexagesimais (ou 5 dígitos decimais); [7]

• Resolução de “equações quadráticas” 2.500 anos antes de Bháskara; [8]

• Resolução de alguns tipos de “equações cúbicas”; [9]

• Um tipo do método do trapezóide 1.400 anos antes do mesmo ser (re)descoberto na Europa; [10]

• Uma tabela trigonométrica 1.000 anos antes de Hipparchus. [11]

As pirâmides do Egito e a tecnologia egípcia

Comparativamente ao mesopotâmico, o povo egípcio tinha maior acesso a recursos minerais. Isso os permitiu desenvolver diversas ferramentas, possibilitando construções cada vez mais complexas, como as famosas pirâmides. Sem dúvida, são impressionantes, ainda mais considerando a época em que foram construídas. Eu, por exemplo, nunca estudei engenharia, então não sei como eram feitas. Mas é lógico que no Egito Antigo havia especialistas com conhecimento muito maior que o meu para encontrar soluções que, do meu ponto de vista, parecem impossíveis.

De fato, há evidências históricas de algumas soluções engenhosas. Uma delas é sobre o transporte de enormes estátuas de pedra pelo deserto – há pinturas que mostram estátuas sobre trenós de madeira sendo transportadas enquanto alguém derrama água à frente dos trenós. Cientistas, a partir de experiências, verificaram que isso facilita o transporte de objetos pesados sobre a areia. [12]

Há o lado negativo, como mostra a pintura: centenas ou milhares de pessoas escravizadas. É lógico que, se o povo egípcio tivesse uma tecnologia alienígena para transportar as enormes estátuas, isso não seria necessário.

Um estudo de Akyo Kato apresenta uma teoria factível sobre o processo de construção da Grande Pirâmide de Giza. A maioria das pedras (internas) eram cortadas em formato octagonal, o que facilitaria seu transporte (eram roladas). Os pedaços removidos formavam prismas trapezoidais que seriam utilizados para rolar as pedras cúbicas da parte externa. Um sistema de polias (encontrados em estudos anteriores) seria utilizado para construir um tipo de elevador, com a ajuda de contrapesos para levantar as pedras aos níveis mais altos. [13]

Milhares de anos de História

Sintetizar milênios de História em um texto deste tipo é bastante difícil e falar de todas as sociedades que são utilizadas nas teorias dos alienólogos seria impossível. O enfoque desse texto (no Egito e na Mesopotâmia) não é o único possível, e talvez não seja o melhor. De qualquer forma, espero que esse texto ajude a mostrar quantos diversos povos da antiguidade tinham avançados conhecimentos em diversas áreas – e que não precisamos de alienígenas para explicar essa inteligência.

Notas

[1] https://mapscaping.com/blogs/geo-candy/mapped-the-6-cradles-of-civilization

[2] Algumas condições ambientais (como a escassez de fontes naturais de alimentos) ajudam a explicar a invenção da agricultura em alguns casos. No entanto, essa não é condição absoluta – o povo maia, por exemplo, inventou a agricultura vivendo em uma floresta.

[3] https://www.nationalgeographic.org/article/development-agriculture/

[4] No período de 3.500 a 3.000 AEC, aparecem tablets de argila com pictogramas (pequenos desenhos) e marcas dos tokens que representavam números. Em cerca de 3.000 AEC, os sinais passaram a ser utilizados para representar sons (como sílabas) para formar nomes, o que originou a escrita. Recomendo a explicação de Irving Finkel sobre a escrita cuneiforme e sua decifração:

https://www.youtube.com/watch?v=PfYYraMgiBA

[5] O método da diagonal aparece em alguns problemas envolvendo largura, altura e diagonal de retângulos. O conceito ‘teorema’ não existia na Babilônia, mas o procedimento de resolução dos problemas é matematicamente equivalente ao Teorema de Pitágoras. Alguns exemplos:

https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Babylonian_Pythagoras/

[6] O método da raiz, utilizado para calcular aproximadamente a raiz de um número, aparece em problemas didáticos sobre calcular uma raiz ou envolvendo o método da diagonal, que são citados no artigo em [11].

[7] Numa lista de constantes, há uma linha com a frase “a diagonal do quadrado é 1;24.51.10”. Essa é a melhor aproximação possível de √2 com três dígitos sexagesimais. O mesmo valor num cálculo para encontrar a diagonal de um quadrado de lado 30 – que dá 42;25.35. Como não havia vírgula sexagesimal na Babilônia, então é possível interpretar isso como 1/√2, que, em base sexagesimal, é 0;42.25.35.

https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1305/1305.0865.pdf

https://www.maa.org/press/periodicals/convergence/the-best-known-old-babylonian-tablet

[8] Não havia, na Babilônia, o conceito ‘equação’. Mas há resolução de problemas sobre encontrar um retângulo dada sua área e a diferença (ou soma) entre a largura e a altura – isso, na ponta do lápis, dá uma equação quadrática.

https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Babylonian_mathematics/

[9] Há problemas resolvidos sobre descobrir as dimensões de um poço a partir do volume de terra removida e relações entre largura, altura e profundidade do poço – isso dá um tipo de equação cúbica. Não há evidências de resolução de uma equação cúbica no caso geral.

https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1905/1905.08034.pdf

[10] O assiriólogo Mathieu Ossendrijver traduziu um texto encontrado recentemente que contém um procedimento de cálculo em Matemática Astronômica Babilônica. O procedimento tinha como objetivo prever a posição da estrela Júpiter no céu ao longo de 60 dias, a contar do dia em que ela aparece como Estrela da Manhã. Isso envolve o cálculo da área de um trapézio.

https://phys.org/news/2016-01-babylonian-astronomers-position-jupiter-geometric.html

[11] Trata-se de uma complicada tabela chamada Plimpton 322. Existem divergências, porque só temos uma parte dela (ela se quebrou e o lado esquerdo se perdeu), além de danos e de alguns erros (de cálculo e de cópia). Só sobrou uma parte da tabela (ela se quebrou e o lado esquerdo se perdeu), além de danos e de alguns erros (de cálculo e de cópia). Como não sabemos quantas colunas na parte esquerda, convencionou-se numerar as colunas I’, II’, III’ e IV’. Chegou-se a um consenso de que a tabela contém medidas de retângulos (ou, equivalentemente, de triângulos retângulos), a divergência é sobre as colunas que existiam à esquerda, o procedimento para criar a tabela e sua utilidade prática.

A melhor explicação é do estudo de Mansfield e Wildbeger, no link abaixo. Seria uma tabela trigonométrica, ou “retangulométrica”, pois contém medidas de retângulos normalizados (com comprimento 1). Haveria mais duas colunas à esquerda: uma com a base e outra com a diagonal, ambas em ordem decrescente. A coluna I’ seria a terceira, com o quadrado da diagonal, o que explica seu rótulo: “o quadrado da diagonal do qual se subtrai 1 para obter o (quadrado) da base”. As colunas II’ e III’ são escalonadas para formar números inteiros, daí o sentido dos rótulos: “resultado da base” e “resultado da diagonal”.

Portanto, seria uma tabela criada para lidar com problemas envolvendo retângulos (ou triângulos retângulos). Isso é possível, pois na Babilônia havia a noção de semelhança de retângulos (e de triângulos). Essa a teoria que melhor se encaixa nos conceitos e convenções da matemática babilônica e que melhor explica a ordem das linhas e a utilidade da tabela.

Eu diria mais: é a única teoria que se encaixa na matemática babilônica.

https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0315086017300691

[12] http://g1.globo.com/mundo/noticia/2014/05/cientistas-explicam-tecnica-de-egipcios-para-construir-piramides.html

http://www.sci-news.com/physics/science-ancient-egyptians-wet-sand-01894.html

[13] A apresentação detalhada encontra-se aqui:

https://www.researchgate.net/publication/338315897_How_They_Moved_and_Lifted_Heavy_Stones_to_Build_the_Great_Pyramid

A matemática e a lógica formal no capitalismo

[Texto originalmente publicado em http://blogconvergencia.org/blogconvergencia/?p=3064]

Para se desenvolver, o sistema capitalista precisou criar transformações cada vez mais profundas sobre a matéria. A criação de máquinas cada vez mais complexas, capazes de realizar tarefas cada vez mais precisas, requer, por sua vez, um avançado conhecimento em física. Esta, para se desenvolver, apoiou-se na matemática, uma ciência que sempre se desenvolveu a partir do raciocínio lógico. Entretanto, até o final do século XIX, a lógica formal padrão era a aristotélica, um sistema lógico incapaz de desenvolver o raciocínio matemático em todo seu potencial.

Tanto Hegel quanto Marx fizeram duras críticas à lógica formal aristotélica. Entretanto, as pressões sociais causaram uma revolução nas bases da matemática e da lógica formal que começou pouco antes da morte de Marx e se estendeu ao longo de várias décadas. A maior revolução da lógica formal até hoje, assim como a da matemática, foi a formalização da matemática. Vamos discutir como se deu esse processo 

O sistema euclidiano

Se tivéssemos uma máquina do tempo e voltássemos à Grécia Antiga, encontraríamos uma matemática totalmente diferente da que vemos hoje. Não havia fórmulas, símbolos estranhos, equações e nem números. Os gregos não inventaram a matemática, nem foram os primeiros a descobrirem como realizar operações aritméticas, mas foi na Grécia que nasceu o primeiro método axiomático, introduzido por Euclides em Elementos.

A palavra grega axioma significa “aquilo que se apresenta como evidente”. Euclides formulou um conjunto de axiomas a partir dos quais seria possível demonstrar os resultados em geometria que eram conhecidos na época utilizando apenas passos lógicos bem definidos. Esses resultados são chamados de teoremas.

Os três primeiros postulados (axiomas) de Euclides afirmam, respectivamente, que é possível ligar quaisquer dois pontos por uma reta, estender indefinidamente uma reta e construir um círculo com qualquer ponto como centro e com qualquer raio. Ou seja, esses postulados são apenas descrições abstratas sobre o que é possível realizar com uma régua (sem escala) e um compasso. Assim, a geometria euclidiana não era um estudo completo sobre o plano, mas apenas sobre o que é possível construir com régua e compasso neste plano. Por exemplo, não é possível construir uma elipse nem uma parábola diretamente com régua e compasso.

Aqui é preciso notar que esses axiomas não são “evidentes por si mesmos”, mas são evidentes para quem tem familiaridade com uma régua e um compasso. Já o quinto postulado, por não ser elementar nem evidente, foi alvo de polêmica na Grécia antiga. Muitos acreditavam que, por não ser óbvio, deveria ser possível demonstrá-lo a partir dos demais postulados. Hoje, sabemos que isso não é verdade, pois conhecemos a existência da geometria hiperbólica, que satisfaz os quatro primeiros postulados mas não satisfaz o quinto. Se houvesse uma demonstração lógica do quinto postulado a partir dos quatro primeiros, essa mesma demonstração valeria para a geometria hiperbólica, mostrando que o quinto postulado seria satisfeito também nessa geometria, o que não é verdade.
Além dos cinco postulados, Euclides também enunciou algumas “noções comuns” (que dizem respeito à noção de igualdade) e que hoje também são classificadas como axiomas.

O sistema axiomático construído por Euclides demonstra que é possível sistematizar o estudo da geometria (e também da aritmética) de forma separada da atividade humana concreta. O sistema de Euclides corresponde à atividade humana e ao mesmo tempo é independente dela.

Na Grécia Antiga, a matemática se desenvolveu tendo o trabalho de Euclides como base. Nesse trabalho, até mesmo a aritmética era vista sob a ótica da construção com régua e compasso. Entretanto, existem números que não podem ser construídos com régua e compasso, como, por exemplo, o número pi e a raiz cúbica de 2. Esta era a maior contradição da matemática grega: ela pressupunha implicitamente que todos os números são construtíveis, o que não é verdade. Isso deu origem aos três problemas clássicos gregos que (embora não soubessem na época) não podem ser resolvidos a partir da matemática grega. Essa contradição gerou a necessidade de um novo sistema axiomático para os números reais. Foi só no século XIX que foi a compreensão da matemática se aprofundou ao ponto de demonstrar que nem todos os números são construtíveis. A contradição da matemática grega foi resolvida. 

A lógica aristotélica

A lógica formal é uma ciência que estuda as regras que permitem alguém chegar a uma conclusão a partir de um conjunto fixo de premissas (hoje também chamadas de axiomas) e uma sequência de passos lógicos. A lógica formal não pode estipular quais premissas devem ser aceitas, mas apenas avaliar se a conexão entre essas premissas e a conclusão seguem as regras da lógica. O trabalho de Aristóteles em Metafísicas serviu como base para a lógica clássica que até hoje é a lógica padrão. Apesar de existirem outros sistemas lógicos formais, é a partir dessa lógica que as pessoas são ensinadas a pensar ao longo do sistema de ensino, principalmente nas disciplinas de exatas.

Na lógica aristotélica, uma proposição assume um e apenas um entre dois valores de verdade: verdadeiro ou falso. É isso que, essencialmente, está por trás dos três princípios aristotélicos (princípio da identidade, da não-contradição e do terceiro excluído). Por causa disso, a lógica formal aristotélica é incapaz de lidar com algumas sentenças matemáticas. Nem mesmo alguns resultados mais complexos que Euclides obteve poderiam ser formalizados na lógica aristotélica. Como seria possível estudar proposições sobre objetos desconhecidos (ou seja, variáveis) se o próprio valor de verdade dessas proposições não são variáveis? Para poder resolver essa contradição, a lógica formal também precisou aprofundar sua compreensão sobre proposições e o pensamento lógico. 

O programa de Hilbert e a matemática do século XX

No início do século XX, havia uma crise na matemática: faltava-lhe um fundamento. As teorias matemáticas estavam dispersas, cada uma era desenvolvida a partir de suas próprias regras. Hilbert lançou um programa para resolver essa crise: criar um fundamento para toda a matemática. Isso significaria criar um sistema axiomático a partir dos quais seria possível construir e demonstrar logicamente toda a matemática que existia até então.

Isso, evidentemente, era muito mais difícil do que na época de Euclides, mas as ferramentas necessárias para concretizar essa tarefa já haviam sido criadas.

Gottlob Frege desenvolveu em 1879 a lógica de predicados. Frege foi responsável por criar técnicas dentro da lógica formal que fossem capazes de lidar com variáveis, em especial pela criação do conceito de quantificador. É com esse conceito que a lógica de Frege foi finalmente capaz de formalizar um velho teorema de Euclides: “existem infinitos números primos”.

Vale aqui uma observação: Frege não estendeu a lógica aristotélica, mas a negou. Para Aristóteles, uma proposição só pode ser verdadeira ou falsa, nada mais. Cada predicado, pelo contrário, ora assume um valor verdadeiro, ora assume um valor falso, dependendo de qual é o valor de cada variável nele contido. Ao contrário das proposições de Aristóteles, o predicado “x é branco” encerra em si as duas possibilidades, verdadeiro e falso, ou seja, sua veracidade é relativa ao valor de “x”. Frege incorporou na lógica formal um conceito matemático e, sem perceber, deu um salto em direção à dialética. Essa é uma verdade que os matemáticos de hoje não admitem. A lógica fregeana desenvolveu e negou a lógica aristotélica da mesma forma que a atual estrutura dos números reais de hoje desenvolveu e negou os números construtíveis da matemática grega.

O trabalho de Frege ficou desconhecido internacionalmente por várias décadas. Em 1893, Frege lançou a primeira edição do livro “Leis Básicas da Aritmética”, criando, a partir de sua lógica, um sistema axiomático para a aritmética. Em 1903, quando a segunda edição do seu livro estava para ser impressa, Bertrand Russel mostrou que era possível chegar a um paradoxo a partir de seu sistema axiomático, o conhecido Paradoxo de Russel.

Na década de 1910, Bertrand Russel e Alfred Whitehead lançaram três volumes de Principia Mathematica, que continham um extenso trabalho (mais de 1900 páginas!) para construir toda a matemática conhecida até então a partir de algumas dezenas de axiomas. Este trabalho foi baseado na obra de inúmeros matemáticos. Seu sistema lógico era fregeano. Os objetos matemáticos eram construídos a partir da teoria de conjuntos que Georg Cantor desenvolvera no século anterior utilizando a teoria dos números reais. Após mais de dois mil anos, o trabalho de Aristóteles e o de Euclides finalmente encontraram uma síntese.

O programa de Hilbert buscava outros resultados. Algumas décadas depois, Kurt Gödel e Alan Turing demonstraram que era impossível alcançar a maioria dos objetivos que o programa buscava. 

A matemática e a lógica formal na atualidade

A matemática de uma época é a matemática da classe dominante. Na Grécia Antiga, a matemática era uma ferramenta utilizada, por exemplo, para administrar a propriedade privada, estudar a música e as obras de arte. O que as escravas e os escravos ganhavam com a matemática? Nada. Pelo contrário: a classe dominante, que detinha a propriedade privada, encontraria na matemática uma forma de quantificar e administrar seus escravos, pois eles eram propriedades.

Hoje em dia, as universidades, as revistas acadêmicas e as pesquisas científicas estão cada vez mais sob o controle das empresas e dos bancos, direta ou indiretamente. As áreas que servem diretamente ao lucro das empresas (como as engenharias) recebem volumes consideráveis de dinheiro para que possam desenvolver suas pesquisas. Cada vez mais laboratórios são comprados e controlados diretamente pelas empresas. Áreas que não servem para o lucro da burguesia ainda são financiadas pelo Estado, seja por tradição ou por serem necessárias ao desenvolvimento geral da universidade, mas recebem financiamentos e incentivos bem menores e às vezes entram em crise.

Esta lógica fez com que a matemática da atualidade se dividisse em duas partes. Uma parte, conhecida como matemática aplicada, diz respeito às pesquisas que estudam a matemática ligada à atividade humana e que, por isso, podem ser apropriadas e direcionadas pelas empresas. A matemática aplicada é utilizada, por exemplo, para estudar e otimizar o processo de produção e de transporte das mercadorias, evitando desperdício e economizando tempo de trabalho. A outra parte, a matemática pura, diz respeito ao estudo da matemática em sua abstração, incluindo axiomas e teoremas, mas que não busca e nem sequer conhece sua aplicação prática.

A academia ensina que a matemática só pode ser desenvolvida a partir de axiomas, cuja veracidade é tomada como pressuposto e como fundamento para o raciocínio lógico. Esses axiomas geralmente incluem uma concepção fregeana da lógica. Isso tudo cria a ilusão de que a matemática se desenvolve a partir do “pensamento puro”, desvencilhado da materialidade, que independe de qualquer subjetividade ou contexto histórico no qual o ser humano que a estuda está inserido.

A História, entretanto, mostra que a matemática, na verdade, se desenvolveu historicamente a partir da abstração da atividade humana concreta sobre a natureza e que sempre esteve ligada ao seu contexto histórico e social. A lógica também se desenvolveu historicamente a partir do conhecimento humano sobre a própria natureza. Descobertas recentes na Física, por exemplo, levaram à criação de outros sistemas lógicos formais, como a lógica quântica e a lógica fuzzy, que desobedecem às regras da lógica aristotélica.

Enquanto o fundamento para a matemática grega eram os postulados de Euclides, o fundamento para a matemática de hoje é o sistema axiomático de Zermelo-Fraenkel. Esse sistema não tem como base a atividade humana nem características da natureza, seus axiomas não podem ser verificados empiricamente e não são nem um pouco evidentes.

Muitas pessoas julgam que eles são intuitivos. Essas pessoas passaram a infância brincando com bolinhas, aprendendo a contar maçãs e laranjas, a desenhar círculos ao redor delas para representar conjuntos, estudaram matemática durante os ensinos fundamental, médio e superior e só então puderam estudar e entender o significado de cada um dos axiomas. Outras pessoas defendem que a matemática é uma invenção humana, que o universo matemático é uma abstração humana que não existe. Entretanto, não só a matemática é produto da abstração humana do mundo real, como também, através do trabalho humano, se mostra capaz de entender, prever e modificar o mundo ao nosso redor.

Alan Turing desafiou essa lógica. Turing cresceu em um mundo onde as máquinas se desenvolviam e adquiriam cada vez mais importância. Isso o inspirou a conceber teoricamente uma máquina capaz de executar qualquer algoritmo. A partir de sua teoria matemática, não só ele demonstrou que alguns dos objetivos do Programa de Hilbert não poderiam ser atingidos quanto também foi capaz de criar sua máquina, a máquina de Turing, hoje conhecida como computador. Turing mostrou que é possível desenvolver a matemática não em sua pura abstração, nem em sua aplicação empirista, mas sim relacionando a teoria e a prática, o abstrato e o concreto.

Na verdade, a separação da matemática entre pura e aplicada serve apenas para que as empresas consigam melhor se apropriar de sua aplicação e manter a matemática pura sob controle, longe do mundo real. A matemática, ao contrário do que a lógica formal prega, não é um conjunto de resultados lógicos obtidos de axiomas que foram entregues aos seres humanos pelos Céus. A compartimentação do conhecimento impede o desenvolvimento da matemática porque seu fundamento não está nos axiomas, mas sim no seu desenvolvimento histórico que teve como base o desenvolvimento da sociedade e de suas relações socioeconômicas, assim como o desenvolvimento da lógica e de todo o conhecimento humano. Apenas o materialismo histórico-dialético pode fazer com que a matemática supere os limites da lógica formal.